Alla fine di questo post vi spiego una strategia matematica per raggiungere il quorum ai referendum (e perché Bersani ha ragione a fare il suo appello), ma intanto cominciate a leggere. Chi non vuole aspettare o sa già tutto sui modelli SIR vada invece al punto in cui c'è una freccina rossa. E ora che vi siete sistemati, partiamo dalle infezioni. Quando arriva la stagione dell'influenza, qualcuno si fa il vaccino, qualcuno si copre di più o rimane a casa, altri ancora non fanno nulla. Ma qual è il comportamento più efficace? Per rispondere a questo tipo di domande, che diventano ancora più urgenti in caso di epidemie di aviaria o H1N1 (senza parlare dell'E. coli), esistono dei modelli matematici che aiutano a capire quali siano i parametri più importanti di cui tenere conto. La popolazione viene divisa in tre gruppi: i Suscettibili (ossia quelli che possono essere infettati), gli Infetti e i Rimossi (ossia tutti gli altri: immuni, morti, guariti). Questi modelli, introdotti negli anni '20 da Kermack e McKendrick, si chiamano SIR (dalle iniziali dei tre tipi di popolazione) e con opportune varianti rimangono ancora oggi il principale strumento per prevedere lo sviluppo di un'epidemia. Ci sono due parametri importanti da tenere presenti: il tasso di contagio r e il tempo di infettività T. Il primo corrisponde a quanti contagiati ci sono nell'unità di tempo a partire da un infetto, il secondo è il tempo in cui si rimane contagiosi. Gli infetti aumentano proporzionalmente al loro incontro con i suscettibili e diminuiscono a un tasso 1/T. Esaminando il modello, che trovate qui, ci si accorge che l'epidemia si propaga, ossia il numero degli infetti aumenta, solo se il numero di suscettibili al tempo iniziale è maggiore di 1/rT. Questo ci dice che, se molte persone di vaccinano o vengono isolate, per cui r diminuisce, oppure si trovano cure che accelerino il decorso della malattia, per cui è T che diminuisce, la soglia di attivazione aumenterà e potremo più facilmente contenere il contagio. Ovviamente questa è solo l'idea di base, e poi vi sono infinite varianti, dall'inclusione di effetti di ritardo a quelli propagazione spaziale, ma insomma quando sentite dire che entro la fine delle vacanze di Natale la metà degli italiani si ammalerà di influenza, di solito vengono usati modelli di questo tipo. 

Con piccole modifiche possiamo adattare queste idee alla propagazione dei pettegolezzi (sono o no una specie di contagio?). Raccontate ad un amico un segreto vergognoso da non rivelare proprio a nessuno e dopo qualche giorno qualcuno che conoscete appena cercherà di consolarvi per quanto accaduto. Oppure pensate alle leggende metropolitane che tutti raccontano come esperienze capitate a qualche conoscente diretto. Come per il contagio, vi sono le persone suscettibili di trasmettere il pettegolezzo, quelle che già lo trasmettono (che sono equivalenti agli infetti), e infine quelle che ne sono immuni (che corrispondono ai rimossi). Questa voltà però le cose cambiano un poco, perché, a differenza della maggior parte delle malattie infettive, dai e dai i pettegolezzi riescono ad attecchire anche sugli immuni. Per cui il modello deve essere adattato tenendo conto che alcuni degli immuni diventeranno “infetti” a forza di stare in mezzo a persone che ripetono lo stesso messaggio. Questo piccolo cambiamento risulta decisivo, perché le soluzioni di questo modello questa volta non si estinguono come nel caso delle epidemie, che bene o male alla fine scompaiono, ma cominciano ad oscillare attorno a dei valori medi che dipendono dai parametri, e spiegano perché certe voci, come la presenza degli alieni nell'area 51 o gli avvistamenti di Elvis Presely, siano dure a morire: qualcuno che alla fine si mette a crederci si troverà sempre. Il pettegolezzo, come la calunnia, è un venticello...

→ E arriviamo ai referendum del 12 e 13 giugno prossimi (e bravi se siete arrivati qui senza saltare le righe precedenti!). In questo caso dividiamo la popolazione in quattro fasce. Quelli che sono suscettibili di essere informati, gli informati, che sono un po' come gli infetti dei modelli precedenti, quelli che, essendo informati, andranno a votare e infine quelli che, pur essendo informati, non andranno a votare. Questi ultimi due gruppi sono, presi insieme, l'equivalente dei rimossi nel caso delle epidemie. Vediamo come adattare i modelli precedenti a questa nuova situazione. In primo luogo diciamo che quelli che non sono informati diminuiscono sempre, proporzionalmente a due fattori: l'informazione di fondo (supponiamola costante) e l'informazione diretta fatta da coloro che decidono di andare a votare (proporzionale al numero dei votanti). Gli informati aumentano ovviamente allo stesso tasso con cui i disinformati diminuiscono, ma poi nel tempo si dividono tra quelli che decidono di andare o no a votare. Con una differenza però, che di solito quelli che non vanno a votare non fanno campagna elettorale (o in ogni caso incidono poco, ricordate Craxi che incitava gli italiani ad andare al mare?), per cui il numero degli informati che in definitiva decidono di andare a votare è influenzato ulteriormente da coloro che hanno già deciso in questo senso e si sono attivati per convincere gli altri. Insomma, funziona anche qui come per la diffusione dei pettegolezzi, il passaparola può cambiare il risultato. Vediamo come. Se aspettiamo abbastanza tempo, tutti verranno prima o poi informati e alla fine dovranno decidere se votare o meno al referendum (quelli troppo indecisi alla fine semplicemente non voteranno...). Per cui l'unica incertezza di questo modello è sapere se i votanti saranno superiori o meno ai non votanti. Ovviamente conteranno molto i dati di partenza. Stiamo supponendo infatti che la scelta sia irreversibile (chi è ancora disponibile a cambiare viene contato tra gli informati indecisi), per cui, se coloro che non andranno a votare sono già, all'inizio, superiori alla metà dell'elettorato, non c'è strategia che tenga. Lo stesso nel caso opposto, se coloro che hanno scelto di votare sono la maggioranza. Ma supponiamo di essere nel caso interessante in cui all'inizio entrambi gli schieramenti siano in minoranza e che il tasso di quelli che si informano e decidono in un modo o nell'altro senza chiedere a nessuno sia poco influenzabile da entrambe le parti. Allora, facendo un po' di calcoli, che potete trovare qui insieme alla formulazione matematica del modello, si scopre in modo rigoroso qual è il fattore decisivo che può far pendere la bilancia in un modo o nell'altro. In questa situazione, l'elemento chiave è dato dal fatto che questo problema è asimmetrico, ossia i votanti si attivano per convincere gli altri, mentre i non votanti no. Certo, un po' di azione generale di informazione ci deve essere, ma insomma, il fattore in più che può far guadagnare il quorum viene dal fatto che i votanti fanno campagna elettorale. Come per le epidemie, cambiare uno dei parametri del problema può essere decisivo e in questo caso è ancora la “contagiosità”, ossia la capacità di un votante di portare altre persone al seggio, che fa la differenza. Nei referendum precedenti, in cui il quorum non è stato raggiunto, si sono verificate proprio le condizioni opposte: scarsa mobilitazione di coloro che erano già convinti e, forse, il fatto che alla maggioranza delle persone non interessava tanto in partenza il risultato. In questi referendum la situazione sembra invece abbastanza diversa. E il modello matematico (e il buon senso) ci suggerisce allora che, se ognuno di coloro che va votare si impegnasse a informare e convincere nei prossimi giorni, almeno quattro di coloro che ancora sono indecisi, e non solo in modo virtuale, ma proprio con il contatto diretto, si potrebbe decidere in modo positivo (per i votanti), l'esito finale di questa partita. 

Insomma, la parola d'ordine è: andate e infettateli tutti!

di Roberto Natalini

La nota con i dettagli matematici relativi al modello matematico dei referendum si trova qui: Un semplice modello matematico delle dinamiche elettorali nei prossimi referendum